Fisica

18/02/2019

Metodo Scientifico

Fenomeno di interesse e sua idealizzazione, ho grandezze fisiche per descriverlo (unità), osservazione e misura (incertezze), formulazione di ipotesi, passando dal modello alla legge fisica.

Attraverso quest'ultima (legge fisica) è possibile descrivere e prevedere ed in caso falsificare l'ipotesi.

Unità del sistema internazionale

Grandezze fisiche e la loro misurazione

Incertezza di misura

Grandezze Fondamentali

Sistemi di Unità di Misura

Sistema Internazionale

Cifre significative e Arrotondamenti

Cinematica

La cinematica è la descrizione del moto degli oggetti, rappresentati da punti materiali.

Punto materiale: Punto con delle proprietà fisiche, privandolo dell'estensione. Lecito quanto piccolo è l'oggetto.

(Più piccolo, più lecito).

Esempio:

Luna è un punto materiale con un rapporto 100 alla terra.

Legge oraria del moto

Scelgo un punto, un verso di percorrenza e creo il movimento del punto in UNA dimensione.

Un punto materiale non fa spazio ne ingombro.

Posso assumere una unità di misura nella retta orientata (tipo centimetri).

La legge oraria posso esprimerla con una tabella:

E disegno un GRAFICO:

Equazione oraria: $s=s(t)$

spazio in funzione del tempo.

La legge oraria può variare in base alla funzione che ho su $s(t)$

Esempi

s=$A \cos(Bt)$

Nota bene che:

NON posso rimuovere la costante A, mentre posso rimuovere la costante B(se ad esempio la B vale 1), ma è consigliato tenerla in ogni caso. Senza A non posso dire di che cosa si tratta, di lunghezza, di tempo etc etc, quindi A deve essere DEFINITA ed avere una unità di misura.

Pulsazione: la formula precedente è la legge oraria che descrive un moto armonico (ad esempio: una molla, un pendolo). Il pendolo oscilla attorno alla condizione di riposo con pulsazione $\omega=B$.

Velocità media

Velocità positiva

Velocità negativa

Equazione: $V_m={\Delta x\over\Delta t}$

Ovviamente ha una unità di misura

$[v]={[s]\over[t]}$

Le parentesi quadre indicano una equazione dimensionale, stiamo considerando l'uguaglianza dal punto di vista delle dimensioni.

Abbiamo ovviamente una unità di misura

$udm(v)={udm(s)\over udm(t)}={m\over s}$

può essere metri al secondo come altro(km/h...)

Nota che è una differenza, non dipende dal sistema che abbiamo utilizzato.

utilizzando il sistema di riferimento di prima (tabella), abbiamo:

${-2\over1}=-2{m\over s}$

$-1{m\over s}$

$2{m\over s}$

$3{m\over s}$

Coefficente Angolare: Nel grafico ho

$m={\Delta y\over\Delta x}$

Nota bene che il grafico con tempo, non può avere valori che "tornano indietro nel tempo".

Velocità istantanea

La velocità istantanea è la velocità media relativa a un tempo infinitesimo.

$\lim_\limits{\Delta t \to 0}{\Delta x\over \Delta t}=v$

anche detta

$\lim_\limits{\Delta t\longrightarrow0}{\ x(t)-x_0\over t-t_0}=v(t)$

Rapporto incrementale, quindi è la derivata nel grafico spazio tempo.

Esempi:

$s(t)=At \Longrightarrow v(t)={ds\over dt}=A$

Essendo t Tempo, A sarà spazio tempo perchè mi fornisce un uguaglianza = spazio, quindi deve dare spazio. Quindi A sarà la Velocità.

$v(t)=A[-\sin(\omega t)]\omega=-A\omega \sin(\omega t)$

In questo caso A è Spazio.

Avendo la legge oraria della velocità, posso ottenere la legge oraria del moto integrando $v(t)$

$s(t)-s_0=\int^t_{t_0} d\tau v(\tau) \Longrightarrow s(t)=s_0+\int_{t_0}^t d\tau v(\tau)$

quindi

$s(t)=s_0+\int^t_{t_0}\bar{v}d\tau=s_0+\bar{v}(t-t_0)$

Avendo una velocità costante ottengo

$s(t_0)=s_0+\bar{v}(t_0-t_0)=s_0$

Accelerazione

Derivata della velocità nel tempo

$\lim_\limits{\Delta t \to 0}{\ v(t)-v(t_0)\over t-t_0}=a(t_0)$

Protip: Controllo di avere consistenza dimensionale

$[a]={[v]\over[t]}={[s]\over[t][t]}=[s/t^2]$

Accelerazione Gravitazionale

L'accelerazione gravitazionale è pari a

$g=9,80665{m\over s^2}$

Punti estremali (o punti stazionari): Punti di massimo e di minimo di un grafico (punti in cui la derivata della funzione è zero). In un grafico velocità - tempo, nei punti di massimo e di minimo il corpo non subisce nessuna accelerazione (derivata della velocità in funzione del tempo = accelerazione). Analogamente, in un grafico spazio - tempo nei punti stazionari la velocità del corpo è zero (derivata dello spazio in funzione del tempo = velocità).

Integrale della velocità

$v(t)=v_0+\int_{t_0}^t d\tau a(\tau)$

Nota che:

Integrando accelerazione, ottengo la velocità.

Integrando ancora , ottengo lo spazio.

Derivando lo spazio, ottengo la velocità.

Derivando ancora ottengo l'accelerazione.

Protip:

$F={-G\cdot m\cdot M\over r^2}={-m\cdot g\cdot r}$

L'accelerazione gravitazionale è diversa in base a dove mi trovo sulla Terra, ma di poco, quindi la assumo come costante.

Esercizio

Protip: Io posso piazzare il mio asse delle $x$, cioè s(t) come mi pare e piace, quindi posso ottenere una $g$ negativa, per avere una accelerazione positiva.

Un tipo tira un sasso in aria

DATI:

$v_0=?$

$h=4,0 m$

$s_0=0, t_0=0$

$a=+g (g=-9,81 m/s^2)$

$v(t)=v_0 >0 + \int ^t _0 d\tau a(\tau)=v_0+\int ^t _0 d\tau g=v_0+gt$

dove g è ovviamente l'accelerazione gravitazionale.

$s(t)=s_0+\int_{t0}^t d\tau v(\tau)=\int_0^t d\tau (v_0+g\tau)=v_0t+g{t^2\over2}$

22/02/2019

Ricordiamo che l'accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo

${dv\over dt}=a$

tornando all'esercizio precedente, otteniamo

$\begin{cases} v(t)=v_0+gt \\ s(t)=v_0t+{1\over 2}gt^2 \end{cases}$

Ora nel punto in cui la velocità è zero:

$\begin{cases} v(t)=0=v_0+gt_{max} \\ s(t)=h_{max}=v_0t_{max}+{1\over 2}gt_{max}^2 \end{cases}$

Continuando:

$\begin{cases}v_0=-gt_{max} \\h_{max}=-{1\over2}gt^2_{max}\end{cases}=\begin{cases} v_0=-g\sqrt{2h_{max}\over-g}=\sqrt{|g|^2{2h_{max}\over-g}}=\sqrt{-2gh_{max}}=8,9m/s\\t_{max}=\sqrt{2h_{max}\over-g}=\sqrt{8m\over9,8m/s^2}=\sqrt{0,816}\end{cases}$

Esercizio: Doppio lancio vericale

Vengono lanciati due sassi

DATI:

$v_0=8,0 m/s$

$a=g=-9,81m/s^2$

$s_0=0m$

$t_{0A}=0s$

$t_{0B}=$Arbitrario

Si incontrano per $s>0$?

Se aspetto che il primo sasso vada a terra, no.

Come possiamo vedere, la possibilità che si incontrino è nell'intersezione delle due parabole.

1. Primo Caso/Modo: $t_{0B}>t_{LA}=2t_{max}=2\sqrt{-2h_{max}\over g}$

   se ho che lo lancio dopo il landing dell'altro.

2. Secondo Caso/Modo: $\begin{cases}s(t)=v_{0A}(t-t_{0A})+{1\over2}g(t-t_{0A})^2 \\s(t)=v_{0B}(t-t_{0B})+{1\over2}g(t-t_{0B})^2\end{cases}$ ottengo $\cancel{v_0t+{1\over2}gt^2}=v_0(\cancel{t}-t_{0B})+{1\over2}g(\cancel{t}-t_{0B})^2$

   Ottengo dunque che

   $0=-v_0\ t_{0B}+{1\over2}gt^2_{0B}-gt_{0B}$

   arrivando a $t$

   $t={{1\over2}gt^2_{0B}-v_0t_{0B}\over gt_{0B}}={t_{0B}\over2}-{v_0\over g}$

Grandezze vettoriali

$s\longrightarrow\vec{s}$

$v\longrightarrow\vec{v}$

$a\longrightarrow\vec{a}$

Ci sono diversi tipi di sistemi di coordinate

1. Cartesiano

2. Cilindrico

3. Polare

   

Una grandezza vettoriale nello spazio è descritta quindi da un vettore con tre entrate, corrispondenti (nel caso di un sistema di coordinate cartesiano) all'intensità della grandezza lungo ciascuno degli assi:

$s\longrightarrow \Delta\vec{s}=\bigg(\begin{smallmatrix}\Delta s_x\\\Delta s_y\\\Delta s_z\end{smallmatrix}\bigg)=\Delta s_x \ \hat x + \Delta s_y \ \hat y + \Delta s_z \ \hat z$

Dove con $\hat x$ si intende il versore relativo all'asse $x$, cioè il vettore $x = \bigg(\begin{smallmatrix}1\\ 0 \\ 0\end{smallmatrix}\bigg)$.

Analogamente per il vettore velocità media:

$\vec{v}_M={\Delta\vec{s}\over\Delta t}=\Bigg(\begin{smallmatrix}{\Delta x\over\Delta t}\\{\Delta y\over\Delta t}\\{\Delta z\over\Delta t}\end{smallmatrix}\Bigg)=\bigg(\begin{smallmatrix}{v_x}\\{v_y}\\{v_z}\end{smallmatrix}\bigg)= v_x \ \hat x + v_y \ \hat y + v_z \ \hat z$

Velocità istantanea in più dimensioni

$\vec{v}(t)=\lim_\limits{t'\to t} {\vec{s}(t')-\vec{s}(t)\over t'-t}$

Si vede, per come è definito il vettore $\vec v$, che la sua direzione è uguale a quella dello spostamento $\vec s$.

Accelerazione in più dimensioni

$\vec{a}(t)=\lim_\limits{t'\to t} {\vec{v}(t')-\vec{v}(t)\over t'-t}$

Una grandezza vettoriale è caratterizzata da una intensità (lunghezza del vettore), da una direzione (retta sulla quale giace il vettore) e da un verso (uno dei due possibili sulla retta direzione). Può quindi esserci, ad esempio, una variazione di velocità (accelerazione) sia se cambia l'intensità della velocità, sia se cambia la sua direzione. Ad esempio: se un corpo viaggia inizialmente con velocità $v_1 = 5 \hat x \frac{m}{s}$ (5 metri al secondo lungo la direzione dell'asse x) e poi modifica la sua velocità in $v_2 = 5 \hat y \frac{m}{s}$ c'è stata una accelerazione (l'intensità del vettore velocità non è cambiato, ma la direzione sì).

Possiamo avere

1. Moto rettilineo uniforme (MRU)
2. Moto rettilineo uniforme vario (MRVA)
3. Moto non rettilineo uniforme (MNRU)
4. Moto non rettilineo non uniforme (MNRNU)

Moto circolare uniforme

Un corpo in moto circolare uniforme percorre una traiettoria circolare, con velocità scalare (intensità) costante.

Per una circonferenza di raggio $r$, le coordinate sul piano cartesiano in funzione dell'angolo $\phi$ possono essere calcolate tramite la relazione

$\begin{cases}x=r\cos\phi \\y=r\sin\phi\end{cases}$

In ogni istante, il vettore spostamento e il vettore velocità hanno direzione tangente alla circonferenza.

In un MCU si può definire la velocità angolare come l'angolo di circonferenza percorso per unità di tempo (se il moto è uniforme, la velocità angolare è costante). La velocità scalare è il prodotto della velocità angolare per il raggio.

Velocità:

$v={ds\over dt}={d(R\phi)\over dt}=R\ {d\phi\over dt}= \omega R$

$\omega$ è la velocità angolare.

Allo stesso modo è possibile definire l'accelerazione angolare $\alpha$

L'accelerazione:

$a={dv\over dt}=R\ {d\omega\over dt}=\alpha R$

L'accelerazione è diretta verso il centro, cioè accelerazione centripeta; in un moto circolare uniforme il suo valore scalare è costante.

Accelerazione centripeta in un moto non circolare = accelerazione normale.

È normale moto, perpendicolare.

Nota che:

Se non ho una circonferenza, posso dire che l'accelerazione normale ci porta ad avere un'accelerazione centripeta verso una ipotetica circonferenza per la nostra curva:

$v_x={dx\over dt}=R{d\cos \phi\over dt}=-R\sin \phi {d\phi\over dt}$

$v_y={dy\over dt}=R{d\sin \phi\over dt}=R\cos \phi {d\phi\over dt}$

Quindi ottengo che

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=R{d\phi\over dt}=R\omega$

con le accelerazioni

$a_x={dv_x\over dt}=-R[{\cos \phi({d\phi\over dt})^2}+\sin \phi \xcancel{({d^2\phi\over dt^2})}] = -R \cos \phi \cdot \alpha$

$a_y={dv_y\over dt}=R[{-\sin \phi({d\phi\over dt})^2}+\cos \phi \xcancel{({d^2\phi\over dt^2})}] = -R sin \phi \cdot \alpha$

$a = \Vert (a_x, a_y) \Vert = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{R^2\alpha^2(cos^2 \phi + sin^2 \phi)} = \alpha R$

Nota bene: ${d^2\phi\over dt^2}={d\over dt}[{d\phi\over dt}]$

dove $[{d \phi\over dt}]$=$\omega$ è costante, quindi la derivata di una costante è zero.

25/02/2019

Velocità angolare: $v=\omega r$

Esercizio palla di cannone

Calcolo della traiettoria di un oggetto sparato con un cannone (o di qualunque altro corpo con una velocità iniziale soggetto alla forza di gravità).

Il cannone è posizionato su $(0,0)$ e ha un certo alzo $\phi$ (angolo rispetto al terreno). Il cannone imprime sul corpo una velocità iniziale.

Questi esercizi si risolvono nel seguente modo:

1. si scompone il moto nella componente orizzontale (lungo $x$ ) e verticale (lungo $y$);
2. lungo la componente orizzontale il corpo non subisce accelerazione (si ignora l'attrito dell'aria) e quindi prosegue con un moto rettilineo uniforme
3. lungo la componente verticale il corpo subisce accelerazione $\vec g = - 9.81 \hat y \frac{m}{s}$ e quindi prosegue con un moto rettilineo uniformemente accelerato
4. si mettono a sistema le due leggi orarie (quella del moto lungo $x$ e lungo $y$): si usa la legge oraria lungo $y$ per calcolare quando il corpo toccherà terra ($y = 0$) e si inserirà il tempo trovato nella legge oraria lungo $x$ per calcolare la distanza percorsa dal corpo.

$x_0=0$ $v_{0x}=v_0\cos\phi$

$y_0=0$ $v_{0y}=v_0\sin\phi$

$\vec{v}_0=v_{0x} \hat{x}+v_{0y} \hat{y} \iff v_o, \phi$

$\begin{cases} x(t)=x_0+v_{0x}t\\ y(t)=y_0+v_{0y}t+{1\over2}at^2\end{cases} \begin{cases} x=v_{0x}t\\ y=v_{0y}t-{1\over2}gt^2\end{cases} \begin{cases} t={x\over v_{0x}}\\ y={v_{0y}\over v_{0x}}x-{1\over2v_{0x}}gx^2\end{cases}$

ottenendo

$x=-{b\over a}= \tan\phi {2v_{0x}^2\over g}={2v_{0x}v_{0y}\over g}$

Sottolineo che ho sostituito $y=\tan\phi x -{g\over 2V_{0x}^2}x^2=bx+ax^2$

Principi della dinamica

Primo principio (principio di inerzia):

$\vec{v}=\vec{0}$

$\vec{v}=\vec{costante}$

Un corpo rimane nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme fintanto che una forza non agisce su di esso.

Sistema di riferimento inerziale: un sistema di riferimento in cui è valido il primo principio della dinamica. Sistemi inerziali fra di loro diversi differiscono (al più) per una differenza costante di velocità.

Se un sistema di riferimento accelera rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, quel sistema di riferimento è detto non inerziale.

Molto importante: Se sono sopra un oggetto movente non posso affermare se si sta muovendo, perché mi sto muovendo con esso.

Secondo principio (principio di Newton):

Esperimenti carrelli

IMMAGINE che non trovo

Avendo due carrelli che si tirano tra loro con una molla di mezzo cosa succede?

Beh se i carrelli sono uguali, ho i $\Delta v1=\Delta v2$

altrimenti, se carrello 2 è 2 volte la massa del carrello 1 ottengo $\Delta v1=2\Delta v2$

idem se vale 3 ottengo $\Delta v1=3\Delta v2$

Misuriamo quindi la seguente relazione fra massa e accelerazione, a cui diamo il nome di "forza":

$\vec{F}=m\cdot \vec{a}$

Per una definizione più precisa del concetto di forza, definiamo $\vec p$ quantità di moto:

$\vec{p}=m\cdot \vec{v}$

Forza è la variazione della quantità di moto per l'unità di tempo.

Per l'esercizio di prima, con$v1$ con stessa massa di $v2$ abbiamo

${d\vec{p}_1\over dt}=-{d\vec{p}_2\over dt}$

dove $\vec{F}_1={d\vec{p}_1\over dt}$ $\vec{F}_2={d\vec{p}_2\over dt}$

OTTENENDO

$\vec{F}_1=-\vec{F}_2$

$\vec{F}={d\vec{p}\over dt}={{d\over dt}(m\vec{v}_2)}={dm\over dt}\vec{v}+m {d\vec{v}\over dt}$

Noi sappiamo che $a= {d\vec{v}\over dt}$

$\vec{F}={d\vec{p}\over dt}$

cioè $\vec{F}= m\cdot \vec{a}+ {dm\over dt}\vec{v}$

Spesso nei problemi ${dm\over dt}\vec{v}$ si può ignorare, perché i corpi di cui vogliamo calcolare l'accelerazione o la forza ai quali sono soggetti non hanno una variazione di massa.

Un esempio di corpo che riceve accelerazione da una variazione di massa sono i razzi spaziali.

Unità di misura: Newton. $[N] = \frac{[kg] \cdot [m]}{[s^2]}$ =km/h

$\vec{F}={d\vec{p}\over dt}$

${d\vec{p}}={\vec{F}}{dt}$

per calcolare la

forza media dobbiamo avere l'impulso.

Impulso: $\Delta \vec{p}=\int^t_{t_0}\vec{F}(\tau)d\tau$

Avendo poi

Forza media: $\vec{\bar{F}}={\Delta\vec{p}\over\Delta t}$

Esercizio pallina da tennis

Ho una pallina da tennis, la tiro contro il muro. La pallina rimbalza e torna indietro: la velocità è variata, quindi il moto ha avuto una accelerazione, quindi il corpo ha subito una forza.

Quanta forza è stata impressa dal muro sulla pallina?

$m=150g$ di pallina

$v=36 km/h=10m/s$

otteniamo

$\xcancel{\vec{p}_i=1,5kg\ {m\over s}}$ è sbagliato: la quantità di moto è una grandezza vettoriale

Indichiamo la direzione della quantità di moto moltiplicando il prodotto massa per velocità scalare della pallina per il versore $\hat x$:

$\vec{p}_i=1,5kg\ {m\over s}\cdot \hat{x}$

supponiamo un impatto perfettamente elastico: dopo l'impatto con il muro, la pallina ha la stessa velocità scalare, la stessa direzione ma il verso opposto.

$\begin{cases} \vec{p}_i=1,5kg\ {m\over s}\cdot \hat{x} \\ \vec{p}_f=-1,5kg\ {m\over s}\cdot \hat{x} \end{cases}$

La pallina è rimasta "attaccata" al muro per un certo intervallo di tempo $\Delta t$, durante il quale il muro ha impresso una forza sulla pallina. La variazione di quantità di moto è $\Delta \vec p = \vec p_f - \vec p_i = 2 \vec p_f$. La forza applicata dal muro sulla pallina è quindi $\vec F = \frac{\Delta \vec p}{\Delta t}$.

Principio di sovrapposizione:

Se più forze agiscono su un corpo, l'effetto complessivo delle forze è equivalente alla sovrapposizione degli effetti delle forze (somma vettoriale delle forze)

$\vec{F}_{tot}=m \vec{a}_{tot}$

$\vec{s}(t)=\vec{s}_0+\int^t_{t_0} d\tau \vec{v}_0(\tau)+\int^t_{t_0} d\tau+\int^\tau_{t_0} du {\vec{F}(u)\over m}\bcancel{(du-du)}$

Vi sono quattro tipi di "forze fondamentali". In ordine di intensità crescente:

1. Forza di gravità
2. Forza debole
3. Forza elettromagnetica
4. Forza Forte

01/03/2019

Forza di gravità

La massa descrive quanto intensamente sento la gravità:

Forza che 1 esercita su 2: $\vec{F}_{1\rightarrow2}=-G{m_1m_2\over r^2_{12}}\hat{r}_{12}$

dove G è la costante di gravitazione universale

$G=6,67\cdot 10^{-11} {N\cdot m^2\over kg^2}$

La massa $m_1$ subisce una forza gravitazionale dalla massa $m_2$ e viceversa.

La gravità si propaga alla velocità della luce, ma non è istantanea, però per noi abbiamo velocità infinita.

Nota sulla elettricità:

$\vec{F}=Kel{g1g2\over r^2_{12}}\hat{r}_{12}$ dove $Kel={1\over4\pi\epsilon_0}$

Forza Peso

Forza con la quale descrivo il fenomeno della caduta dei gravi sulla superfice terrestre.

Ho un palazzo alto 100 metri, butto un sasso.

$\vec{F}=-G{Mm\over r^2}\hat{r}$ dove $M$ è la massa della terra, $m$ è la massa del sasso.($\vec{P}=-m\vec{g}$)

Teorema della forza centrale: in un corpo, fintanto che la massa è distribuita uniformemente all'interno del suo volume, al fine di calcolare la forza gravitazionale posso assumere che la massa sia concentrata al centro dell'oggetto.

$\vec{F}=-G{M_Tm\over (R_t+h)^2}=-{GM_T\over R_T^2(1+{h\over R_T})}m$

ora so che

$(1+\epsilon)^\alpha=1+\alpha\epsilon$ con $\epsilon<<1$

quindi

${1\over1+e}=1-\epsilon$

So che

$-{GM_T\over R_T^2}(1+2{h\over R_T})m=-{GM_T\over R_T^2}$ perchè $(1+2{h\over R_T})$ è dell'ordine di $10^{-5}$

$\vec{F}=G{M_T\over R_T^2}\hat{R_T}$, con una buona approssimazione possiamo quindi ignorare la variazione di forza peso del sasso quando si trova sul terreno rispetto a quando si trova in cima al palazzo (e quindi, tutti i corpi sulla superficie della Terra subiscono accelerazione $\vec g = -G \frac{M_T}{R_T^2} \hat R_T$).

La gravità della luna è un sesto della gravità della terra

Dunque, la forza peso di un corpo sulla luna è un sesto della forza peso che lo stesso corpo avrebbe sulla terra. La massa è invece una proprietà del corpo, e rimane uguale sia sulla Terra, sia sulla Luna, ovunque.

Piano inclinato

I problemi sul piano inclinato si affrontano scomponendo la forza peso del corpo sul piano nella componente normale al piano e nella componente tangenziale al piano.

$\vec{N}+\vec{P}_{perp}=0$

$P_{parall}=P\sin \alpha$

$P_{perp}=P\cos \alpha$

$\begin{cases}t:ma_t=F_t=mg\sin \alpha \\n: ma_n=F_n=0 \end{cases}$

da questo ottengo $a_t=g\sin\alpha$

In assenza di attriti, la componente della forza tangenziale al piano inclinato porta il corpo ad accelerare. Per tenere fermo il corpo, supponiamo di aggiungere una fune

la fune ha una forza $T$ (tensione) che sommata a $P_t$ deve essere $=0$

quindi ottengo

$\vec{P}+ \vec{N}+ \vec{T}= \vec{0}$

(Il corpo è in quiete, quindi per il primo prncipio della dinamica la somma delle forze su di esso deve essere zero)

Supponiamo ora un moto circolare. Il corpo non è in quiete, quindi

$\vec {F}_c=m\vec{a}_c\ne\vec{0}$

Posso immaginare la forza centripeta come una fune che è collegata al centro della circonferenza. Come varia la forza di tensione della fune in funzione della massa del corpo?

Il carico di rottura sale quadraticamente:

$F_c=-m\omega^2R=-G{mM\over R^2}$

otteniamo che

Terza legge di Keplero

$\omega^2={GM\over R^3}\Longrightarrow_{w={2\pi\over T^2}} {R^3\over T^2}={GM\over4\pi^2}$ dove questa è costante.

Forza di attrito

La forza di attrito è una forza che si oppone al movimento ed è proporzionale alla reazione vincolare.

$\vec{F}_a| \vec{F}_t+\vec{F}_A=\vec{0}$

L'attrito statico

L'attrito statico è proprio di un corpo fermo che poggia su un piano. Dipende da quanto un corpo "preme" sul piano su cui poggia. Dipende cioè dalla forza peso, che è uguale e opposta a $N$ reazione vincolare del piano. Quindi uso N

Nota bene che:

Se un corpo è fermo, la somma delle forze applicate su di esso è zero. Pertanto, se un corpo non è soggetto a forze, anche l'attrito statico è zero. Il calcolo dell'attrito statico ci dà la misura della massima forza di attrito che può opporsi ad una forza uguale e contraria applicata sul corpo.

$\vec{F}_{a}\le \vec{F}_{a,max}=\mu_S|\vec{N}|\hat{t}$

Questo esiste sempre. $\mu_S$ è il coefficente di attrito statico.

Attrito dinamico

L'attrito dinamico è proprio di un corpo in movimento che scivola su un piano.

$\vec{F}_{AD}=\mu_D|\vec{N}|\hat{t}\longrightarrow \vec{F}_{AD}=-\mu_D|\vec{N}|\hat{v}$

$\mu_D$ è il coefficiente di attrito dinamico.

Esercizio:

Si ha un disco rotante a velocità costante sul quale è poggiata la corona inglese, il coefficiente di attrito statico fra il disco e la corona è $\mu_s=0,3$. Qual è la massima velocità angolare $\omega$ tale per cui la corona rimanga ferma sul disco?

04/03/2019

Esercizio: Macchina che frena(senza ABS)

Ho una macchina che frena (supponiamo le ruote si blocchino e quindi c'è attrito dinamico fra le ruote e l'asfalto)

$t_{f}=$tempo frenata$=?$

$s_f=$spazio frenata$=?$

$\mu c$ attrito dinamico dato

$\vec{F}=-\vec{F}_a=m\vec{a}$

$-\mu_cN=m{dv\over dt}$

$-\mu_cN(t-t_0)=m(v(t)-v_0)$

$-\mu_c\bcancel{m}g(t_f-t_0)=m(v_t-v_0)$ dove $mg=N$ e $v_t=0$

ottengo:

$\mu_cgt_f=v_0$

Concludendo

$t_f={v_0\over\mu_cg}\Longrightarrow s_f={1\over2}at_f^2={1\over2}(-\mu_cg){v_0^2\over(\mu_cg)^2}=-{1\over2}{v_0^2\over \mu_cg}$

la posso calcolare integrando

$-\mu_cN{(t-t_0)^2\over2}=m[(s(t)-s_0)-v_0(t-t_0)]$

ottenendo

$-\mu g{t_f^2\over2}=s_f-v_0t_f$

Esempio della carrucola

Ho due corpi collegati alle estremità di una fune, posta su una puleggia.

Supponendo che la corda non si estenda, i due corpi:

1. si muovono a velocità uguali e opposte;
2. le variazioni di velocità sono uguali e opposte.

Posso dunque supporre che $\vec {a}=\vec {a}_1=- \vec{a}_2$

$\begin{cases}m_1\vec{a}=\vec{P}_1+T\\m_2\vec{a}=\vec{P}_2+T\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}m_1\vec{a}=\vec{P}_1-T\\m_2(-\vec{a})=\vec{P}_2-T\end{cases}\Longrightarrow \begin{cases}m_1\vec{a}=m_1g-T\\m_2\vec{a}=T-m_2g\end{cases}$

Otteniamo:

$(m_1+m_2) \vec a=(m_1-m_2) \vec g\Longrightarrow \vec a={m_1-m_2\over m1+m2}\vec g$

Osservo che

Se le due masse sono uguali, $m_1-m_2=0$ non si muovono! L'accelerazione è nulla.

Se una delle due masse è zero otteniamo "g", quindi ottengo $\vec{a}=\pm g$ cioè uno dei due corpi cade con accelerazione $\vec g$. Se i due corpi hanno masse diverse fra loro e diverse da zero, uno dei due corpi cade con accelerazione minore di $\vec g$.

Lavoro

Ad una massa, come un treno che va per dei binari:

1. applico una forza parallela e concorde alla direzione dello spostamento, posso affermare che la forza avvantaggia il moto;
2. applico forza parallela discorde(che ha il senso opposto) alla direzione dello spostamento, posso affermare che la forza svantaggia il moto;
3. applico una forza perpendicolare (applicata ad esempio in "giù") alla direzione dello spostamento, posso affermare che non avvantaggia né svantaggia il moto.

Vogliamo dunque rappresentare una caratteristica della forza applicata ad un corpo in movimento che esprima:

1. quanto a lungo nello spostamento la forza è stata applicata al corpo;
2. come la applico(1,2,3)

Lavoro: Prodotto scalare forza con spostamento.

$W=\vec{F} \cdot \Delta\vec{s}=\Vert F \Vert \Vert \Delta s \Vert \cos(\theta_{F_1\Delta s})$

Dimensionalmente:

$[w]=[FL]=[M{L\over T^2}L]=[m {L^2\over T^2}]$

Unità di misura del lavoro: Joule ($J$) pari a $1N\cdot 1m$. Un Joule è, ad esempio, il lavoro compiuto da una forza di $1N$ per spostare un corpo di $1m$ nella stessa direzione di applicazione della forza.

Questa formulazione del lavoro vale fintanto che la forza è uniforme per tutto lo spostamento.

Esempio: Lancio sasso in aria, calcolo del lavoro compiuto dalla gravità

Considero il moto di un sasso lanciato verticalmente verso l'alto, dal momento in cui lascia la mano alla massima altezza $h$ che raggiunge.

$W_{grav}=\vec{F}\cdot \Delta\vec{s}=$

$\begin{cases}\vec{F}=-mg\cdot\hat{z}\\\Delta\vec{s}=h\hat{z}\end{cases}=\vec{F}\cdot\Delta\vec{s}=-mgh$

$W_{grav}=-mgh$

La gravità compie un lavoro negativo (si oppone al movimento) mentre il sasso muove verso l'alto.

Quindi, il sasso torna giù

$w_{grav}=\vec{F}\cdot \Delta\vec{s}=$

$\vec{F}=-mg\hat{z}$

$\Delta\vec{s}=-h\hat{z}$

ottengo

$w_{grav}=mgh$

La gravità compie un lavoro positivo (avvantaggia il movimento) mentre il sasso muove verso il basso.

Consideriamo l'intero moto: il sasso viene lanciato, raggiunge la massima altezza e torna al suolo

$\vec{F}=-mg$

$\Delta\vec{s}=\vec{0}$ quindi $W = 0$

Caso dove fa dei giri strani

In questo caso

$\begin{cases}w_a=-mg{h\over3}\\w_c=-mg{2\over3}h\\w_b=0\end{cases}$

$w_b=0$ perchè ho $\Delta \vec{s}=0$

ottengo che alla fine, sommandoli, $W_{TOT}=-mgh$.

Questo ci fa capire che il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale non dipende dal percorso del corpo, ma solo dalla differenza di altezza fra il punto iniziale e il punto finale.

Con Forza non costante:

Cosa succede se la forza non è costante?

Abbiamo questo grafico che rappresenta l'intensità della forza dal punto $A$ al punto $B$.

Suddivido la curva in spostamenti infinitesimi $d\vec s$, per ciascun spostamento $i$ il corpo percepisce una forza (che suppongo istantaneamente costante) $\vec F_i$.

$\vec{F_{AB}}=\sum^N_{i=1} \vec F_i \cdot d\vec{s} \longrightarrow_{n\to\infty} \int^B_A \vec{F}\cdot d\vec{s}$

Una definizione più generale di lavoro è quindi

Lavoro: $W_{A\to B}=\int^B_A \vec{F}\cdot d\vec{s}$

Potenza

Potenza istantanea

Lavoro che compie nell'istante di tempo $dt$: $dP = {dw\over dt}$

Potenza media

Lavoro medio compiuto per unità di tempo: $\bar P = {w_{tot}\over\Delta t}$

Unità di misura della potenza è il Watt ($W$). 1 Watt corrisponde a un lavoro di 1 $J$ / 1 $s$

08/03/2019

Forza conservativa

Una forza è conservativa se vale

$W_{a\to a}=0$

cioè $\oint=\vec{F}\cdot d\vec{s}$

qualunque sia il percorso scelto.

Teorema: per una forza conservativa, $\int^B_A\vec{F}\cdot d\vec{s}$ non dipende dal percorso $A\to B$